Topología algebraica

El comienzo del siglo XX vio surgir un número de teorías cuyo poder y utilidad residen en gran parte en su generalidad. Típicamente, están marcadas por una atención al conjunto o espacio de todos los ejemplos de un tipo particular. (El análisis funcional es un ejemplo.) Una de las más enérgicas de estas teorías generales fue la de la topología algebraica. En este tema se desarrollan una variedad de formas para reemplazar un espacio por un grupo y un mapeo entre espacios por un mapeo entre grupos. Es como usar rayos X: la información se pierde, pero la imagen sombría del espacio original puede llegar a contener, en una forma accesible, información suficiente para resolver la pregunta que nos ocupa.

El interés en este tipo de investigación provino de varias direcciones. La teoría de las ecuaciones de Galois era un ejemplo de lo que podía lograrse transformando un problema de una rama de la matemática en un problema en otra rama más abstracta. Otro ímpetu vino de la teoría de las funciones complejas de Riemann. Había estudiado funciones algebraicas, es decir, el loci definido por ecuaciones de la forma , donde es un polinomio en cuyos coeficientes son polinomios en . Cuando e son variables complejas, el locus puede ser pensado como una superficie real extendida sobre el plano de los números complejos (hoy llamado superficie de Riemann). A cada valor de le corresponde un número finito de valores de . Tales superficies no son fáciles de comprender, y Riemann se había propuesto dibujar curvas a lo largo de ellas de tal manera que, si la superficie se cortara a lo largo de ellas, podría abrirse en un disco poligonal. Fue capaz de establecer una conexión profunda entre el número mínimo de curvas necesarias para hacer esto para una superficie dada y el número de funciones (que se hacen infinitas en puntos específicos) que la superficie podría entonces soportar.

El problema natural era ver hasta qué punto las ideas de Riemann podían aplicarse al estudio de espacios de dimensión superior. Aquí se desarrollaron dos líneas de investigación. Se hizo hincapié en lo que se podría obtener al mirar la geometría proyectiva involucrada. Este punto de vista fue fructuosamente aplicado por la escuela italiana de geómetras algebraicos. Se encontraron problemas, que no fueron completamente capaces de resolver, teniendo que ver con las singularidades que una superficie puede poseer. Mientras que un locus dado por puede intersectarse sólo en puntos aislados, un locus dado por una ecuación de la forma puede intersectarse a lo largo de curvas, un problema que causó considerables dificultades. El segundo enfoque enfatiza lo que se puede aprender del estudio de las integrales a lo largo de caminos en la superficie. Este enfoque, perseguido por Charles-Émile Picard y por Henri Poincaré, proporcionó una rica generalización de las ideas originales de Riemann.

Charles-Émile Picard

Henri Poincaré

Sobre esta base, se hicieron conjeturas y se produjo una teoría general, primero de la mano de Poincaré y luego del ingeniero estadounidense convertido en matemático Solomon Lefschetz, sobre la naturaleza de las variedades de dimensión arbitraria. A grandes rasgos, una variedad es la generalización n-dimensional de la idea de una superficie. Es un espacio en el que cualquier pequeña pieza se ve como una pieza del espacio n-dimensional. Este objeto está dado a menudo por una sola ecuación algebraica en variables. Al principio, la obra de Poincaré y de Lefschetz se refería a la forma en que estas variedades pueden descomponerse en pedazos, contando el número de piezas y a su vez descomponiéndolas. El resultado fue una lista de números, llamados números de Betti en honor del matemático italiano Enrico Betti, quien había dado los primeros pasos de este tipo para extender el trabajo de Riemann. Fue sólo a finales de la década de 1920 que la matemática alemana Emmy Noether sugirió cómo los números de Betti podían ser pensados para medir el tamaño de ciertos grupos. A su instigación, varias personas produjeron una teoría de estos grupos, los llamados grupos de homología y cohomología de un espacio.

Solomon Lefschetz

Enrico Betti

Emmy Noether

Dos objetos que se pueden deformar uno en otro tendrán los mismos grupos de homología y cohomología. Para evaluar la cantidad de información que se pierde cuando un espacio es reemplazado por su imagen topológica algebraica, Poincaré hizo la crucial pregunta inversa: «¿Baho qué condiciones algebraicas es posible decir que un espacio es topológicamente equivalente a una esfera?» Mediante un ejemplo ingenioso mostró que tener la misma homología no es suficiente y propuso un índice más delicado, que desde entonces se ha convertido en la rama de la topología llamada teoría de la homotopía. Siendo más delicado, es tanto más básico como más difícil. Normalmente hay métodos estándar para calcular grupos de homología y cohomología, y son completamente conocidos para muchos espacios. En contraste, hay apenas una interesante clase de espacios para los cuales se conocen todos los grupos de homotopía. La conjetura de Poincaré de que un espacio con la homotopía de una esfera es realmente una esfera se demostró que era verdadera en los años sesenta en dimensiones a partir de cinco, y en la década de 1980 se demostró que era verdadera para espacios de dimensión cuatro. En 2006 Grigori Perelman fue galardonado con una Medalla Fields por probar la conjetura de Poincaré en tres dimensiones, la única dimensión en la que Poincaré la había estudiado.

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