Desarrollos en Matemática Pura en los Siglos XIX y XX

El interés en los sistemas axiomáticos a principios de siglo derivó en sistemas de axiomas para las estructuras algebraicas conocidas, que, por ejemplo, para la teoría de cuerpos fue desarrollado por el matemático alemán Ernst Steinitz en 1910. La teoría de anillos (estructuras en las que es posible sumar, restar y multiplicar pero no necesariamente dividir) fue mucho más difícil de formalizar. Es importante por dos razones: la teoría de los enteros algebraicos forma parte de ella, porque los enteros algebraicos se forman naturalmente en anillos; y (como habían argumentado Kronecker y Hilbert) la geometría algebraica forma otra parte. Los anillos que surgen allí son anillos de funciones definibles sobre curvas, superficies o variedades, o son definibles en partes específicas de las mismas.

Los problemas de la teoría de números y de la geometría algebraica son a menudo muy difíciles, y era la esperanza de matemáticos como Noether, que trabajó para producir una teoría formal y axiomática de los anillos, que trabajando en un nivel más enrarecido la esencia de problemas concretos se mantendría mientras que las características especiales problemáticas se alejarían. Esto haría la teoría formal tanto más general como más fácil, y en cierta sorprendente medida estos matemáticos tuvieron éxito.

Otro giro en el desarrollo vino con el trabajo del matemático estadounidense Óscar Zariski, que había estudiado con la escuela italiana de geómetras algebraicos, pero llegó a sentir que su método de trabajo era impreciso. Él elaboró un programa detallado por el cual cada tipo de configuración geométrica podía redescribirse en términos algebraicos. Su trabajo logró producir una teoría rigurosa, aunque algunos, en particular Lefschetz, sintieron que se había perdido de vista la geometría en el proceso.

El estudio de la geometría algebraica era susceptible a los métodos topológicos de Poincaré y Lefschetz siempre y cuando las variedades estuvieran definidas por ecuaciones cuyos coeficientes fueran números complejos. Pero, con la creación de una teoría abstracta de cuerpos, era natural querer una teoría de variedades definida por ecuaciones con coeficientes en un cuerpo arbitrario. Esto fue proporcionado por primera vez por el matemático francés André Weil, en su obra «Foundations of Algebraic Geometry» (1946), de una manera que dibujó en la obra de Zariski sin suprimir la apelación intuitiva de conceptos geométricos. La teoría de Weil de las ecuaciones polinómicas es el lugar apropiado para cualquier investigación que intente determinar qué propiedades de un objeto geométrico se pueden derivar solamente por medios algebraicos. Pero queda atormentadamente corta en un tema de importancia: la solución de ecuaciones polinómicas en números enteros. Este fue el tema que Weil abordó a continuación.

La dificultad central es que en un cuerpo es posible dividir pero en un anillo no. Los números enteros forman un anillo pero no un cuerpo (dividir 1 por 2 no produce un número entero). Pero Weil demostró que versiones simplificadas (planteadas sobre un cuerpo) de cualquier pregunta sobre soluciones enteras para polinomios podían ser provechosamente hechas. Esto transfirió las preguntas al dominio de la geometría algebraica. Para contar el número de soluciones, Weil propuso que, puesto que las preguntas eran ahora geométricas, deberían ser susceptibles a las técnicas de la topología algebraica. Este fue un movimiento audaz, ya que no estaba disponible una teoría adecuada de la topología algebraica, pero Weil conjeturaba los resultados que debería producir. La dificultad de las conjeturas de Weil puede juzgarse por el hecho de que la última de ellas fue una generalización a este escenario de la famosa hipótesis de Riemann sobre la función zeta, y rápidamente se convirtieron en el foco de atención internacional.

Weil, junto con Claude Chevalley, Henri Cartan, Jean Dieudonné y otros, crearon un grupo de jóvenes matemáticos franceses que comenzaron a publicar prácticamente una enciclopedia de matemática bajo el nombre de Nicolas Bourbaki, tomado por Weil de un obscuro general de la guerra franco-alemana. Bourbaki se convirtió en un grupo auto-seleccionable de jóvenes matemáticos que eran fuertes en álgebra, y los miembros de Bourbaki estaban interesados en las conjeturas de Weil. Al final tuvieron éxito. Se desarrolló un nuevo tipo de topología algebraica y se probaron las conjeturas de Weil. La hipótesis generalizada de Riemann fue la última en rendirse, establecida por el belga Pierre Deligne a principios de los años setenta. Curiosamente, su resolución todavía deja sin resolver la hipótesis original de Riemann.

Bourbaki fue una figura clave en el replanteamiento de la matemática estructural. La topología algebraica fue axiomatizada por Samuel Eilenberg, matemático estadounidense de origen polaco y miembro de Bourbaki, y el matemático estadounidense Norman Steenrod. Saunders Mac Lane, también de Estados Unidos, y Eilenberg extendieron este enfoque axiomático hasta que muchos tipos de estructuras matemáticas se presentaron en familias, llamadas categorías. Por lo tanto, había una categoría que consistía de todos los grupos y todos los mapeos entre ellos que preservan la multiplicación, y había otra categoría de todos los espacios topológicos y todos los mapeos continuos entre ellos. Hacer topología algebraica era transferir un problema planteado en una categoría (la de los espacios topológicos) a otra (usualmente la de los grupos o anillos conmutativos). Cuando se creó la topología algebraica correcta para las conjeturas de Weil, el matemático francés nacido en Alemania Alexandre Grothendieck, un Bourbaki de enorme energía, produjo una nueva descripción de la geometría algebraica. En sus manos se infundió el lenguaje de la teoría de categorías. La ruta de la geometría algebraica se convirtió en la más empinada de todos los tiempos, pero las vistas desde la cumbre tienen una naturalidad y una profundidad que han llevado a muchos expertos a preferirla a las formulaciones anteriores, incluyendo a la de Weil.

La formulación de Grothendieck hace de la geometría algebraica el estudio de las ecuaciones definidas sobre anillos en lugar de cuerpos. En consecuencia, plantea la posibilidad de que preguntas sobre los enteros se puedan responder directamente. Basándose en el trabajo de los matemáticos de Estados Unidos, Francia y Rusia, el alemán Gerd Faltings reivindicó triunfalmente este enfoque cuando resolvió la conjetura del inglés Louis Mordell en 1983. Esta conjetura afirma que casi todas las ecuaciones polinomiales que definen curvas tienen a lo sumo una cantidad finita de soluciones racionales.

Mientras tanto, Gerhard Frey, de Alemania, había señalado que, si el último teorema de Fermat es falso, de modo que hay números enteros tales que con mayor que ), entonces para estos valores de la curva

tiene propiedades que contradicen las conjeturas mayores de los matemáticos japoneses Taniyama Yutaka y Shimura Goro sobre curvas elípticas. La observación de Frey, refinada por Jean-Pierre Serre de Francia y probada por el americano Ken Ribet, significó que para 1990 las conjeturas no probadas de Taniyama fueran conocidas por implicar el último teorema de Fermat.

En 1993, el matemático inglés Andrew Wiles estableció las conjeturas de Shimura-Taniyama en una amplia gama de casos que incluían la curva de Frey y, por tanto, el último teorema de Fermat, una hazaña importante incluso sin la conexión con Fermat. Pronto quedó claro que el argumento tenía un serio defecto. Pero en mayo de 1995 Wiles, asistido por otro matemático inglés, Richard Taylor, publicó un enfoque diferente y válido. Al hacerlo, Wiles no sólo resolvió las conjeturas más famosas en matemática, sino que también triunfantemente reivindicó los sofisticados y difíciles métodos de la moderna teoría de números.

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Topología algebraica

El comienzo del siglo XX vio surgir un número de teorías cuyo poder y utilidad residen en gran parte en su generalidad. Típicamente, están marcadas por una atención al conjunto o espacio de todos los ejemplos de un tipo particular. (El análisis funcional es un ejemplo.) Una de las más enérgicas de estas teorías generales fue la de la topología algebraica. En este tema se desarrollan una variedad de formas para reemplazar un espacio por un grupo y un mapeo entre espacios por un mapeo entre grupos. Es como usar rayos X: la información se pierde, pero la imagen sombría del espacio original puede llegar a contener, en una forma accesible, información suficiente para resolver la pregunta que nos ocupa.

El interés en este tipo de investigación provino de varias direcciones. La teoría de las ecuaciones de Galois era un ejemplo de lo que podía lograrse transformando un problema de una rama de la matemática en un problema en otra rama más abstracta. Otro ímpetu vino de la teoría de las funciones complejas de Riemann. Había estudiado funciones algebraicas, es decir, el loci definido por ecuaciones de la forma , donde es un polinomio en cuyos coeficientes son polinomios en . Cuando e son variables complejas, el locus puede ser pensado como una superficie real extendida sobre el plano de los números complejos (hoy llamado superficie de Riemann). A cada valor de le corresponde un número finito de valores de . Tales superficies no son fáciles de comprender, y Riemann se había propuesto dibujar curvas a lo largo de ellas de tal manera que, si la superficie se cortara a lo largo de ellas, podría abrirse en un disco poligonal. Fue capaz de establecer una conexión profunda entre el número mínimo de curvas necesarias para hacer esto para una superficie dada y el número de funciones (que se hacen infinitas en puntos específicos) que la superficie podría entonces soportar.

El problema natural era ver hasta qué punto las ideas de Riemann podían aplicarse al estudio de espacios de dimensión superior. Aquí se desarrollaron dos líneas de investigación. Se hizo hincapié en lo que se podría obtener al mirar la geometría proyectiva involucrada. Este punto de vista fue fructuosamente aplicado por la escuela italiana de geómetras algebraicos. Se encontraron problemas, que no fueron completamente capaces de resolver, teniendo que ver con las singularidades que una superficie puede poseer. Mientras que un locus dado por puede intersectarse sólo en puntos aislados, un locus dado por una ecuación de la forma puede intersectarse a lo largo de curvas, un problema que causó considerables dificultades. El segundo enfoque enfatiza lo que se puede aprender del estudio de las integrales a lo largo de caminos en la superficie. Este enfoque, perseguido por Charles-Émile Picard y por Henri Poincaré, proporcionó una rica generalización de las ideas originales de Riemann.

Charles-Émile Picard

Henri Poincaré

Sobre esta base, se hicieron conjeturas y se produjo una teoría general, primero de la mano de Poincaré y luego del ingeniero estadounidense convertido en matemático Solomon Lefschetz, sobre la naturaleza de las variedades de dimensión arbitraria. A grandes rasgos, una variedad es la generalización n-dimensional de la idea de una superficie. Es un espacio en el que cualquier pequeña pieza se ve como una pieza del espacio n-dimensional. Este objeto está dado a menudo por una sola ecuación algebraica en variables. Al principio, la obra de Poincaré y de Lefschetz se refería a la forma en que estas variedades pueden descomponerse en pedazos, contando el número de piezas y a su vez descomponiéndolas. El resultado fue una lista de números, llamados números de Betti en honor del matemático italiano Enrico Betti, quien había dado los primeros pasos de este tipo para extender el trabajo de Riemann. Fue sólo a finales de la década de 1920 que la matemática alemana Emmy Noether sugirió cómo los números de Betti podían ser pensados para medir el tamaño de ciertos grupos. A su instigación, varias personas produjeron una teoría de estos grupos, los llamados grupos de homología y cohomología de un espacio.

Solomon Lefschetz

Enrico Betti

Emmy Noether

Dos objetos que se pueden deformar uno en otro tendrán los mismos grupos de homología y cohomología. Para evaluar la cantidad de información que se pierde cuando un espacio es reemplazado por su imagen topológica algebraica, Poincaré hizo la crucial pregunta inversa: «¿Baho qué condiciones algebraicas es posible decir que un espacio es topológicamente equivalente a una esfera?» Mediante un ejemplo ingenioso mostró que tener la misma homología no es suficiente y propuso un índice más delicado, que desde entonces se ha convertido en la rama de la topología llamada teoría de la homotopía. Siendo más delicado, es tanto más básico como más difícil. Normalmente hay métodos estándar para calcular grupos de homología y cohomología, y son completamente conocidos para muchos espacios. En contraste, hay apenas una interesante clase de espacios para los cuales se conocen todos los grupos de homotopía. La conjetura de Poincaré de que un espacio con la homotopía de una esfera es realmente una esfera se demostró que era verdadera en los años sesenta en dimensiones a partir de cinco, y en la década de 1980 se demostró que era verdadera para espacios de dimensión cuatro. En 2006 Grigori Perelman fue galardonado con una Medalla Fields por probar la conjetura de Poincaré en tres dimensiones, la única dimensión en la que Poincaré la había estudiado.

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