Operando con series de potencias

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Operando con series de potencias

18 septiembre 2014 por Ana María Teresa Lucca

El hecho de que las series de potencias puedan ser aproximadas con precisión arbitrariamente alta mediante polinomios implica que

Dos series de potencia con el mismo centro pueden ser sumadas, multiplicadas y divididas de la misma manera que lo hacemos con los polinomios.

No nos detendremos aquí en la demostración formal de este hecho, y el lector interesado puede recurrir a los libros de Lang o Conway. Centraremos nuestra atención en apropiarnos de una idea intuitiva del resultado y en cómo puede ayudarnos en la práctica.

Si dos series $f(z)$ y $g(z)$ tienen discos de convergencia $D_{1}$ y $D_{2}$ , respectivamente, entonces las series resultantes para $f+g$ y para $fg$ serán convergentes en el disco más pequeño de los dos, aunque de hecho pueden converger dentro de un disco aún mayor. No es posible una afirmación general en el caso de la serie resultante para $f/g=f(1/g)$ , debido a que la convergencia de la serie para $1/g$ está limitada no sólo por la frontera de la circunferencia de $D_{2}$ sino también por aquellos puntos dentro de $D_{2}$ para los cuales $g(z)=0$ .

Ilustremos la afirmación inicial con algunos ejemplos. Anteriormente hemos asumido como válida la afirmación para hallar la serie para $1/(1-z^{2})$ centrada en $k$ . Usamos la descomposición en fracciones simples

$\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-z}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+z},$

y los desarrollos en serie de cada una de las funciones en el miembro de la derecha, y asumimos que podíamos sumar estas series de potencias tal como lo hacemos con dos polinomios, sumando los coeficientes.

En el caso en que $k=0$ es fácil chequear que este procedimiento funciona, porque ya conocemos la respuesta correcta para la serie centrada en el origen:

$\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=1+z^{2}+z^{4}+\cdots.$

Como

$\displaystyle\frac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots$

$\displaystyle\frac{1}{1+z}=1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots,$

vemos que sumando los coeficientes de estas series obtenemos la serie correcta para $1/(1-z^{2})$ .

Como

$\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=\left(\frac{1}{1-z}\right)\left(\frac{1}{1+z}\right),$

podemos reciclar este ejemplo para ilustrar la exactitud de la multiplicación de series de potencias como si se tratara de polinomios:

$(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)(1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots)=1+(1-1)z+(1-1+1)z^{2}+(1-1+1-1)z^{3}+\cdots,$

que nuevamente nos da la respuesta correcta para la serie de potencias de $1/(1-z^{2})$ .

También podemos valernos de nuestra afirmación inicial para hallar el desarrollo de $1/(1-z)^{2}$ :

$(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)=1+(1+1)z+(1+1+1)z^{2}+(1+1+1+1)z^{3}+\cdots,$

y así

$\displaystyle\frac{1}{(1-z)^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}(j+1)z^{j}.$

Las series obtenidas para $1/(1-z)$ y $1/(1-z)^{2}$ son casos especiales del Teorema Binomial general, que establece que si $n$ es cualquier número real (no necesariamente un entero positivo), entonces en el disco unitario,

$(1+z)^{n}=1+nz+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}z^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^{3}+\cdots.$

Históricamente, este resultado fue una de las armas clave de Newton para el desarrollo del cálculo, y más tarde desempeñó un papel igualmente central en la obra de Euler.

Ahora describiremos cómo dividir dos series de potencias $f(z)$ y $g(z)$ . Para hallar la serie $f(z)/g(z)=\sum c_{j}z^{j}$ multiplicamos ambos miembros por $g(z)$ para obtener $f(z)=g(z)\sum c_{j}z^{j}$ , y luego multiplicamos las dos series de la derecha. Por la unicidad de las series de potencia, los coeficientes de esta serie deben ser iguales a los conocidos coeficientes de $f(z)$ , y esto no permite calcular los $c_{j}$ . Un ejemplo hará este proceso mucho más claro.