Otro campo que se desarrolló considerablemente en el siglo XIX fue la teoría de las ecuaciones diferenciales. El pionero en esta dirección fue de nuevo Cauchy. Sobre todo, insistió en que se debe demostrar que las soluciones existen. No es a priori obvio que cada ecuación diferencial ordinaria tiene soluciones. Los métodos que Cauchy propuso para estos problemas encajaban naturalmente en su programa de proporcionar fundamentos rigurosos a todo el cálculo. El método de solución que él prefirió, aunque el menos general de sus dos enfoques, funcionó igualmente bien en los casos reales y complejos. Estableció la existencia de una solución igual a la que se puede obtener mediante métodos tradicionales de series de potencias utilizando técnicas recién desarrolladas en su teoría de funciones de una variable compleja.
La parte más difícil de la teoría de las ecuaciones diferenciales se refiere a las ecuaciones diferenciales parciales, aquellas para las cuales la función desconocida es una función de varias variables. A principios del siglo XIX no existía un método conocido para demostrar que una ecuación diferencial parcial de segundo o mayor orden tenía una solución, y ni siquiera había un método para escribir un candidato plausible. Cauchy encontró métodos nuevos y más rigurosos para las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, pero eludió el tratamiento del caso general .
Un caso especial importante fue procesado con éxito: el de la dinámica. La dinámica es el estudio del movimiento de un sistema físico bajo la acción de fuerzas. Trabajando independientemente entre sí, William Rowan Hamilton en Irlanda y Carl Jacobi en Alemania mostraron cómo los problemas en la dinámica podían reducirse a sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden. De esta base surgió un estudio extenso de ciertos operadores diferenciales parciales. Estas son generalizaciones directas de una sola diferenciación parcial (∂/∂x) a una suma de la forma
donde los 
William Rowan Hamilton
Carl Gustav Jakob Jacobi
El trabajador más influyente en esta dirección fue el noruego Sophus Lie. Lie, e independientemente Wilhelm Killing en Alemania, llegaron a sospechar que los sistemas de operadores de diferenciales parciales que estaban estudiando venían en una variedad limitada de tipos. Una vez que se especificó el número de variables independientes (que fija la dimensión del sistema), una gran clase de ejemplos, incluyendo muchos de considerable significación geométrica, parecía caer en un pequeño número de patrones. Esto sugería que los sistemas podían clasificarse, y tal perspectiva naturalmente excitaba a los matemáticos. Después de mucho trabajo por parte de Lie y Killing, y más tarde por el matemático francés Élie-Joseph Cartan, fueron clasificados. Inicialmente este descubrimiento despertó el interés porque produjo orden en donde previamente la complejidad había amenazado el caos y porque podía adjudicársele un sentido geométrico. La comprensión de que habría grandes implicaciones de este trabajo para el estudio de la física quedó bien en el futuro.
Sophus Lie
Wilhelm Karl Joseph Killing
Élie Joseph Cartan
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