La profundidad de Cauchy se puede comparar con la de Carl Friedrich Gauss, en cuanto a la cantidad, calidad y variedad del material matemático considerado. Hizo contribuciones sobresalientes al análisis real y al cálculo, a la teoría de funciones complejas, a las ecuaciones diferenciales y al álgebra, así como a la teoría de la elasticidad y la mecánica celeste. Su extraña personalidad, descrita alternativamente como infantilmente ingenua y extravagantemente melodramática, junto con su profuso estilo literario se combinan para formar un personaje singular en la historia de la matemática. De hecho, el nombre de Cauchy está vinculado a más teoremas y conceptos matemáticos que el de cualquier otro matemático.
Augustin-Louis Cauchy nació el 21 de agosto de 1789 en París, hijo de Louis-François Cauchy, un poderoso funcionario administrativo, y Marie-Madeleine Desestre. La pareja se casó en 1787 y tuvo cuatro hijos y dos hijas. Su padre, que era un experto en clásicos, fue quien se dedicó en primera instancia de la educación de Augustin Cauchy, el hijo mayor. Más tarde conoció a varios científicos destacados, como Pierre-Simon Laplace. Cauchy luego asistió a la École Central du Panthéon, y fue admitido en la École Polytechnique a los 16 años de edad. Unos años más tarde dejó la École para convertirse en ingeniero, y en 1810 trabajó en el puerto de Cherbourg, donde Napoleón estaba construyendo sus operaciones navales contra Inglaterra. En 1813 Cauchy había regresado a París.
Mientras tanto, en 1811 Cauchy resolvió un problema geométrico planteado por Joseph-Louis Lagrange: la determinación de los ángulos de un poliedro convexo a partir de sus caras. En 1812 descubrió un problema de Pierre de Fermat -si cada número es la suma de números n-agonales. Su tratado de 1814 sobre integrales definidas fue presentado a la Academia Francesa, y este ensayo se convertiría más tarde en la base de la teoría de las funciones complejas. Dos años después, Cauchy ganó un concurso de la Academia Francesa sobre el tema de la propagación de ondas en la superficie de un líquido. Hacia 1819 había inventado el método de características utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y en 1822 sentó las bases para la teoría de la elasticidad.
Esto representa una pequeña muestra de las extensas escrituras de Cauchy. Había obtenido el cargo de profesor adjunto de la École Polytechnique en 1815, y al año siguiente fue ascendido a profesor titular y fue nombrado miembro de la Académie des Sciences; antes de 1830 tenía sillas tanto en la Faculté des Sciences como en el Collège de France. Mientras tanto, escribió muchos libros de texto notables, que fueron dignos de destacar por su precisión.
En 1818, Cauchy se casó con Aloïse de Bure, con quien tuvo dos hijas; la familia se instaló en las cercanías de Sceaux. Fue un devoto católico, dedicado a varias obras de caridad durante toda su vida y ayudando a fundar el Institut Catholique. Su personalidad ha sido descrita como intolerante, egocéntrica y fanática; otros lo pintan como meramente infantil. Por ejemplo, Cauchy escribió una defensa de los jesuitas, sosteniendo que eran odiados por su virtud. Su tratamiento de las memorias de Niels Henrik Abel y Evariste Galois ha sido citado como prueba de su egotismo, aunque en general reconoció el trabajo de otras personas y fue cuidadoso en sus referencias. Antes de presentar el trabajo de otro en la academia, Cauchy a menudo generalizaba y mejoraba los resultados del autor; parece que su obsesión por la matemática transgredió los límites de la propiedad, lo que lo llevó a publicar una idea tan pronto como la desarrollaba. Y Cauchy fue prodigioso: ¡produjo al menos siete libros y más de 800 artículos!
En la revolución de julio de 1830, la monarquía borbónica fue reemplazada por Luis Felipe. Un realista, Cauchy se negó a jurar lealtad al nuevo rey. Como resultado, perdió sus sillas y se exilió a sí mismo a Friburgo, Cerdeña y finalmente a Praga, donde fue tutor del príncipe heredero de los Borbones y más tarde recompensado siendo nombrado barón. En 1834, su esposa y sus hijas se unieron a él en Praga, pero Cauchy regresó a París en 1838, reanudando su actividad matemática en la academia. Varios amigos intentaron conseguir un puesto para Cauchy, pero su firme negativa a hacer el juramento de lealtad hizo abortar estos esfuerzos. Después de la Revolución de febrero de 1848, los republicanos retomaron el poder y Cauchy pudo ocupar una silla en la Sorbona. Continuó publicando a un ritmo enorme hasta su muerte el 22 de mayo de 1857.
Cauchy había escrito un magistral texto de cálculo en 1821, notable por su rigor y por su excelente estilo. Este acercamiento a la matemática fue característico de él: rechazó la «generalidad del álgebra», que era un argumento ilógico para tratar las cantidades infinitesimales lo mismo que las finitas. Cauchy distinguió entre una serie convergente y divergente (y se negó a tratar este último tipo), estableciendo condiciones específicas para la convergencia, como la llamada propiedad de Cauchy para la convergencia de una sucesión, así como la raíz, la razón y las pruebas integrales. Cauchy definió los límites superior e inferior para las sucesiones no convergentes, estableció las representaciones de límite y serie para el número trascendental e, y fue el primero en usar la notación de límite. Derivó varias reglas para la manipulación de series convergentes y radios de convergencia calculados para series de potencias, advirtiendo contra el uso imprudente de la aproximación de Taylor. Cauchy demostró un teorema del resto para series, inventó el concepto moderno de continuidad y obtuvo una versión del teorema del valor medio, que posteriormente probó Bernhard Bolzano. Cauchy hizo hincapié en la definición de límite de la derivada y la integral definida, así como en la discusión de integrales indefinidas y singulares. Hizo un uso extensivo de la transformada de Fourier (descubierta antes de Jean Baptiste Joseph Fourier) en ecuaciones diferenciales, inventó el llamado Jacobiano (un determinante especial) y dio una prueba del teorema fundamental del álgebra.
En estadística, la teoría de regresión tratada por Cauchy usa errores absolutos, en contraste con la teoría de mínimos cuadrados de Gauss; uno de los resultados de esta investigación es la creación de la llamada distribución de Cauchy. En álgebra, Cauchy investigó la inversa de una matriz, proporcionó teoremas sobre determinantes e investigó las transformaciones ortogonales. Él contrastó la construcción geométrica y algebraica del número complejo. También estableció los fundamentos de la teoría de grupos, incluidos los conceptos de grupo, subgrupo, conjugación y orden, y probó el teorema de Cauchy para grupos finitos. También intentó sin éxito la prueba del último teorema de Fermat, que solo se demostró en 1994.
Los métodos de Cauchy en la teoría de las ecuaciones diferenciales incluyen el uso de la transformada de Fourier y el método de las características. Cauchy enfatizó que no todas las ecuaciones tenían soluciones, y que la unicidad solo podía estipularse bajo importantes condiciones iniciales y de frontera; una ecuación diferencial parcial bien especificada con datos iniciales y de límites se denomina problema de Cauchy. También fundó la teoría de la elasticidad, generalizándola a partir de los ejemplos unidimensionales considerados por los matemáticos del siglo XVIII; esta fue una de sus contribuciones más elegantes y encomiables a la ciencia. Cauchy también escribió sobre el tema de la mecánica celeste, resolviendo la ecuación de Kepler.
La teoría de las funciones complejas está, quizás, más fuertemente endeudada con Cauchy. Primero justificó el límite y las operaciones algebraicas con números complejos, y luego desarrolló la fórmula integral de Cauchy y el cálculo de residuos. Estas herramientas tienen una notable variedad de aplicaciones. Es interesante que Cauchy no pudo deducir el teorema de Liouville (que las funciones enteras acotadas deben ser constantes). Sin embargo, sus numerosas contribuciones y perspectivas avanzaron mucho en el campo del análisis complejo.
Fuente bibliográfica:
- McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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